HTM講座第15回「ZFCで数を作ってみる（前編）」

前回、ZFCの公理の一部を使って、数学的な「関係」そして「関数」を作ってみました。

今回は数そのものを作ってみます。

 

ZFCでは、すべての対象（数・関数・空間など）は「集合」として扱います。
したがって、数もすべて集合の形で定義することができます。

ZFCの枠内で自然数や実数を「集合だけ」で定義する方法は、現代数学の「形式的基礎付け」の代表例です。

 

では、まずどこから手を付ければいいでしょうか？

数の世界のもっとも基本的な要素は「自然数」です。

フォン・ノイマンの定義を利用して、数を作ってみます。

 

◆ Step 1：自然数 ℕ の構成
0 := ∅

1 := {0} = {∅}

2 := {0,1} = {∅, {∅}}

3 := {0,1,2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}

一般に：n := {0, 1, ..., n−1}

 

このように、「集合」を使って、自然数（ℕ := {0,1,2,...} ）を作ることができました（各自然数 n は「それ未満の自然数の集合」として定義されます）。

そして、ℕ := {0,1,2,...} の存在は、ZFCの「無限公理」により、存在が保証されます。

 

◆Step 2：順序対と写像の定義（ツール準備）

ZFCには「順序対」や「関数」がプリミティブには存在しません。
そこで、以下のように定義します：

順序対 (a, b) := {{a}, {a, b}}
⇒この定義により、(a, b) ≠ (b, a) が保証されます。

そして、関数 f ⊆ A × B は、順序対の集合として定義できます。

そこからさらに、「各 a ∈ A に対して、ただ1つの b ∈ B が対応するような集合」を作ることも可能です。

これで「数の対」や「数列」が定義可能になりましたので、次のステップに移ります。

 

◆ Step 3：整数 ℤ の構成

次は「整数」です。自然数がすでにあるので、これにひと手間加えて「整数」を作ります。

 

【１】ℕ × ℕ：自然数の順序対の集合を用意する

ℕ × ℕ は、「自然数の組 (a, b)」全体の集合です。これは a − b のような「差」を表すための材料として使えます。

例：

(3, 0) は「+3」

(0, 2) は「−2」

(4, 4) は「0」

➡ まだこの段階では、(2,1) ≠ (3,2) で別物という扱いです（でも数字の間の差は同じなので、区別したくない＝同じ「関係」としてすっきりまとめたい）。

 

【２】同値関係の定義

そこで、ℕ × ℕ の元 (a, b), (c, d) に対して、次のような関係を定義します：

(𝑎,𝑏)∼(𝑐,𝑑)⟺𝑎+𝑑=𝑏+𝑐

 

「∼」は、「同値関係」を表します。大雑把に説明すると、「同じグループに属するものとして同一に扱う」という意味です。

（正確には、反射律、対称律、推移律を満たす二項関係を同値関係と呼びます。今回の主テーマは数の作り方なので、同値関係の詳しい解説は省きます）

 

上の定義により、「a − b = c − d」となるような関係を作ることができました。
（両辺に −b − d をすると、 a − b = c − d）

 

【２】ℕ × ℕ /~：同値関係で割って「同値類」を作る

同値関係によってグルーピングされた「同値類」を作ります。

「/~ 」は「同値関係（∼）で割る」という意味で、これにより、a−bと同じ差をもつペアの集まりを、1つの整数とみなし、まとめます。

例：

1 := [(1, 0)]＝[(2,1)] = [(3,2)] = [(4,3)] = …　（「+1」を表す同値類をまとめて「１」とする）

０：＝[(0,0)] = [(1,1)] = [(2,2)] = …　（「0」を表す同値類をまとめて「０」とする）

ー２：＝[(0,2)] = [(1,3)] = [(2,4)] = …　（「−2」を表す同値類をまとめて「ー２」とする」

 

これにより、

ℤ := ℕ × ℕ / ~

と整数（ℤ）を作り出すことができました。

 

・・・と、いうふうに、自然数（ ℕ ）→（順序対・写像）→整数（ℤ）

という手順で、数を手作りする体験をしていただきました。

ここまできたら、残りの有理数（ℚ）、実数（ℝ）まで行きたいですね。

 

次回は、この続きの手順をレクチャーします。