HTM講座第16回「ZFCで数を作ってみる（中編）」

前回、ZFCを使って、自然数（ ℕ ）→（順序対・写像）→整数（ℤ）

という手順で、数を手作りする体験をしていただきました。

今回はその続きで、残りの有理数（ℚ）、実数（ℝ）のうち、有理数（ℚ）まで進めましょう。

◆ Step 3：有理数（ℚ）の構成

有理数は、最終的に「整数の比」の形として定義できるようにすると、よさそうですね。

以下、手順を分解して進めます。

【１】「整数」と「ゼロ以外の整数」のペアを作る。

まず、ℤ × (ℤ \ {0})という、整数と「ゼロ以外の整数のペア」を作ります。

※「ℤ \ {0}」は、ゼロ以外の整数を表します（分母がゼロになるのを防ぐために必要です）。

そして、 (a, b) ∈ ℤ × (ℤ \ {0}) は、 「a / b」という形式の分数を表すものとします。

例：

(1, 2) は 1/2 を意味する

(−3, 4) は −3/4

(6, 3) は 6/3（→でもこれは 、「2」 と等しいものとしたい）

【２】同値関係の定義：

記号「∼」を使って、有理数の同値関係（3/6＝1/2などの分数の等価性）を定義します：

(a,b)∼(c,d)⟺a⋅d=b⋅c

ペア (a, b), (c, d) に対して、これらが等しい比を表す分数となるように整えると：

a/b = c/d ⇔ ad = bc

これで、分数の基本的な性質を表す構造を作ることができました。

【３】ℚ := ℤ × (ℤ \ {0}) / ～　：同値類の集合を作る 

同値関係でまとめられた同値類を作ります。

（「/ ∼」 は、「等しい比となるペアを集めて、1つの要素にまとめる」ことを意味します）

これで「同じ比を表す複数の分数表現」が、すべて1つの分数表現（a/b）に収束され、１つの有理数として扱われるようになります。

例：

1/2 = 2/4 = 3/6 = …
⟹ [(1,2)] = [(2,4)] = [(3,6)]= …（これらをまとめて1/2とする）

−3/4 = 3/−4 = −6/8
⟹ [(−3,4)] = [(3,−4)] = [(−6,8)]= …（これらをまとめて−3/4 とする）

これで、

ℚ := ℤ × (ℤ \ {0}) / ～

という、有理数（ℚ）のセットを作ることができました。

ひとことでまとめると、有理数 ℚ は、整数のペア (a, b)（b ≠ 0）から構成される「分数の等価類」と言うことができます。

自然数（ ℕ ）→（順序対・写像）→整数（ℤ）→有理数（ℚ）

ときて、あとは実数（ℝ）を残すのみです（次回につづく）