HTM講座第9回　「数学の世界の描き方：モデルのお話」

前回、「一階述語論理」についてお話ししました。

 

一階述語論理では、完全性・コンパクト性などの「きちんとした証明体系」があるため、ルールが明確で、機械的に筋道をたどることができて、機械的に“正しい”か“正しくない”かを判断できる、ということをお伝えしましたね。

ここで、その一階述語の「論理」にはどのような「性質」があるのか、もう少し詳しく説明します。

 

※一階述語の論理には、次のような性質があります。

・完全性 → 「理論にモデルがある ⇔ それを証明できる」（⇔ は「同値」（互いに必要十分条件））

・コンパクト性 → 「理論全体を見なくても、有限な部分だけで真かどうか判断できる」

・可算性 → 「どんなに大きな世界でも、小さく再現できる（モデルは縮小可能）」

ここに「モデル」という言葉が出てきました。一階述語の論理は、「モデル」という存在と直接つながっているんです。

 

数学における「モデル」は、「形式に意味を与える構造（宇宙）」であり、証明と解釈の橋渡しをする働きがあります。

 

なぜ、数学は一階で形式化するのがいいか、あらためて整理してみましょう。

 

理由1：形式的厳密さと完全性の恩恵を受けられる

一階述語論理では、「意味論的完全性」の意味で、完全です。

⇒証明できるものと真であるものが一致する、ということです。これにより、モデル理論的「意味」との対応ができます。

 

理由２：コンパクト性やローエンハイム＝スコーレム（※）の定理も成立

⟹ つまり、有限的な推論やモデル理論の道具が豊富に使えるということです。

 

（※）ローエンハイム＝スコーレムの定理（Löwenheim–Skolem theorem）は、
一階述語論理の「意味の世界（モデル）」について、とても興味深い・直感に反する性質を教えてくれる定理です。

 

◆定理の直感的な説明
「一階述語論理で記述された理論に、無限のモデル（解釈）が1つでもあるなら、“それより小さいサイズのモデル”も存在する」

特に重要なのはこれ：

「任意の無限モデルがあるなら、“可算モデル”も必ずある」

 

◆ 何が不思議なのか？
たとえば、集合論 ZFC（無限の集合を扱う強力な理論）を考えます。

ZFC は「実数の集合」や「すべての集合」など、“巨大で非可算”な対象を扱っています。

でもローエンハイム＝スコーレムによると、ZFC も可算なモデルを持つ。

 

？つまり…

「非可算な集合が“存在する”という理論に、可算なモデルがある」・・・ってどういうこと！？ってことなんですが・・・

 

これは「スコーレムのパラドックス」として有名です。

モデルの“内側”では「これは非可算集合です」となっているのに、

モデルの“外から見る”と、そのモデル全体が「可算」である。

つまり、数学の“真偽”や“サイズ（大きさ）”は、モデルに依存することを示しています。

また、一階論理の体系は、可算な言語で記述できるため、形式的に扱いやすいということになります（数学の証明ではこの「形式的に扱えること」が極めて重要です）。

 

以上が、数学が一階で形式化するといい、ということの理由になります。

 

証明は、紙の上の形式的な作業、モデルは論理の「意味のある解釈」。

その両方がぴったり一致するというのが、一階述語論理のいいところです。

 

そして一階述語論理には、どんなに大きな世界も「もっと小さく解釈できる」という不思議な性質があります。

数学は完全な“唯一の世界”を描くものではなく、「たくさんの可能な世界（モデル）」を持ちうることを示しています。

これは数理論理学・モデル理論でとても重要な視点です。

ここまでで「論理の構造」と「数学が依拠している足場」が見えてきました。

次に向かうべきは、数学を「体系」や「構造体」として見るだけでなく、それがなぜ成り立ち、どこまで拡張できて、どこに限界があるのか、という視点です。

 

次回、有名な「ゲーデルの不完全性定理」を題材に、数学の論理がどこまで世界を描けるか、という問いに迫ってみましょう。