HTM講座第11回　「存在のルール：集合論のお話」

今回から「集合論」の講義に移ります。

 

前回までで、「数学は想像以上に言語で記述される学問である」ということがおわかりになったかと思います。

しかし、その言語（＝記号・公理・推論）と、記述対象（＝“存在する”集合や数）には「ズレ」や「限界」がある、ということでもあります。

 

「この手紙は読まれない」と書かれた手紙を、今あなたが読んでいる。

・・・この命題は“真”か“偽”か？

言語的に記述できることと、それが“意味を持つ”か、“成立する”かは別問題なのです。

 

「書けばあるのか？」「定義すれば存在するといえるのか？」・・・さらに言えば「数学における“存在”とは何か？」というのが、今回のテーマです。

 

それに関連する興味深い話に「ラッセルのパラドックス」というものがあります。

 

・「自分自身を含まないすべての集合の集合」とは何か？

・それは存在するのか？

という問いです。

 

言語で“書ける”からといって、その対象が“存在する”とは限らない、ということですね。

（→記述の自由度 ≠ 存在の保証）

 

ですから、集合論の出発点として、「どんな集合でも考えていい」では破綻する、という可能性を考えねばなりません。

 

よって、「考えていい集合」と「考えてはいけない集合」を明確にするルール（＝公理系）が必要だ、という流れになります。

 

もうひとつ、別の例でも考えてみましょう。

・・・「“赤いユニコーン”は存在するか？」

 

現実に存在するかどうかは置いといて、「赤いユニコーン」という言葉は使えるし、その姿や性質もイメージできる。

・・・でも「それが本当に存在する」と言えるのだろうか？

（→言語での記述可能性 ≠ 存在の証明）

 

「可測でない集合」「非構成的な実数」なども数学では定義できますが、「実体」として把握できるとは限りません。

・・・このような問いに答えるために、「何が存在してよいのか」を公理でルール付けする必要があります。

 

数学は、記号を使って対象を記述する「言語のゲーム」であるとも言えます。
しかし、書けるからといって、「なんでも存在してOK]ということにはなりません。

「どこまで“記述すればよい”のか？」

「何を“存在する”とみなしてよいのか？」

 

こうした問いに、ある種の“ルール”を与えるのが「集合論」です。

次回からは、この集合という“数学の素材”となる存在について、その基本性質と限界について探求していきましょう。